Forum matematică

Sistem simetric de doua ecuatii

ainkurn

Membru din 2019-06-11

Postari: 16

2022-07-20 15:24:14

Salut. Sistemul este:

$x^{5} + y^{5} = 33$

$x + y = 3$

Cum se rezolva? Trebuie toate solutiile deci inclusiv cele complexe nereale.

Ochiometric (1, 2) este o solutie si fiind sistemul simetric si (2, 1) este solutie. Dar trebuie toate solutiile.

Stefan

Membru din 2022-06-29

Postari: 13

2022-07-27 10:00:24

Considerăm x și y ca fiind rădăcinile ecuației de gradul al doile $t^2-St+P=0$ , unde $S=x+y, \ P=x\cdot y$

Deci

$x^2-Sx+P=0, \ y^2-Sy+P=0$

Înmulțim prima egalitate cu $x^3$ și a doua cu $y^3$ și apoi le adunăm

$x^5+y^5-S\left(x^4+y^4\right)+P\left(x^3+y^3 \right )=0$ (1)

Dar

$x^3+y^3=S^3-3PS$

$x^4+y^4=\left(S^2-2P \right )^2-2P^2$

Înlocuind în (1) pe S cu 3 se obține ecuația

$P^2-9P+14=0$

Cu soluțiile $P_1=2, \ P_2=7$

Rezultă ecuațiile

$t^2-3t+2=0$ cu soluțiile $x=1,y=2$ și $x=2,y=1$

$t^2-3t+7=0$ cu soluțiile

$x=\displaystyle\frac{3-i\sqrt{19}}{2}, \ y=\displaystyle\frac{3+i\sqrt{19}}{2}$ și

$x=\displaystyle\frac{3+i\sqrt{19}}{2}, \ y=\displaystyle\frac{3-i\sqrt{19}}{2}$

^ Sus

...

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'